Soluzioni dello scritto del secondo appello: Secondo appello, punteggi degli studenti ammessi all’orale: 0000890666 14+3= 17 0000874074 19+6= 25 0000880723 15+7= 22 0000889085 18+4= 22 0000890416 11,5+5,5=17 0000896488 14,5+6,5=21 0000889934 15+8= 23 0000883538 16,5+3,5=20 0000879999 18+6= 24 0000874726 15+3= 18 0000900688 13+2= 15 0000873730 17+7= 24 0000873674 18 0000880131 18 0000893257 21 Secondo appello, punteggi […]

Omeomorfismi. Varietà, carte. Esempi. Vari tipi di carte sulla circonferenza e sulla sfera. Spazi proiettivi. Spazio tangente ad una varietà in un punto. Esempi ed esercizi. Esercitazione del 21 dicembre: Soluzioni dell’esercitazione:

Prodotti scalari. Esempi importanti di forme bilineari Disuguaglianza di Cauchy-Schwatz. Proprietà della norma di un vettore. Distanza tra punti dello spazio affine. Proprietà che deve soddisfare una funzione per essere chiamata una “distanza”. Due esempi di distanze che non sono definite a partire da un prodotto scalare. Insiemi di vettori ortogonali e ortonormali. Ortogonale implica […]

Introduzione. Forme bilineari: definizioni, esempi Forme bilineari simmetriche e antisimmetriche. Biezione tra forme bilineari e matrici (fissata una base). Matrici simmetriche e antisimmetriche. Ripasso Forme quadratiche. Corrispondenza tra forme quadratiche e forme bilineari simmetriche. Caso reale: forme definite positive e negative, semidefinite, indefinite; prodotti scalari. Matrici simili e matrici congruenti Correzione degli esercizi. Due matrici […]

Esempio di diagonalizzazione, Propieta’ delle matrici diagonali, Il problema di diagonalizzare una applicazione lineare. Definizione di autovalori e autovettori, Polinomio caratteristico. Esempi di applicazioni lineari che non hanno autovalori nel campo razionale o nel campo reale. Autospazi. Basi di autovalori. [slides mancanti] Molteplicita’ algebrica e geometrica. Una applicazione e’ diagonalizzabile su un campo dato se […]

Soluzione di sistemi n×n mediante inversione della matrice dei coefficienti (metodo di Cramer). L’insieme delle soluzioni di un sistema lineare omolgeneo è un sottospazio vettoriale. Per i sistemi completi è una sua traslazione… Spazi affini e loro sottospazi. L’insieme delle soluzioni di un sistema lineare, se non è vuoto, è un sottospazio affine di dimensione […]

Esiste una e una sola applicazione lineare che prende valori dati su una base data. Matrice di un’applicazione lineare in basi date. Esempi. Isomorfismi tra lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari tra due spazi vettoriali dati e lo spazio vettoriale delle matrici m x n. Introduzione al problema seguente. La matrice della composizione di due […]

Definizione di applicazione lineare. Esempi e controesempi. Le applicazioni lineari tra due spazi vettoriali dati formano uno spazio vettoriale. La composizione di applicazioni lineari è lineare Nucleo e immagine di una applicazione lineare. Il nucleo e l’immagine sono sottospazi. Legami con l’iniettività e la suriettività. Esempi. Isomorfismi. Esempi, esercizi. Correzione esercizi; l’essere isomorfi è una […]

In questa sezione posteremo i testi delle verifiche che svolgeremo ogni due settimane, e a seguire le loro soluzioni. Questo materiale è utile anche per esercitarsi! Microverifica del 16 ottobre: Soluzioni: Microverifica del 30 ottobre. Soluzioni:

Un lemma (dimostrazione solo accennata). Teorema: tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità. Definizione di dimensione. Esempi. Esercizi Correzione degli esercizi Base canonica per le funzioni su n elementi. Somma di sottospazi. Un esempio. Formula di Grassmann. Somma diretta. Esercizi. Due modi di descrivere un sottospazio: forma parametrica e forma cartesiana. […]

Definizione equivalente di sottospazio. Combinazioni lineari, sottospazio generato da un insieme di vettori. Esempi. Cenni alle applicazioni della teoria che stiamo sviluppando. Esercizi assegnati per domani (mercoledì 10 ottobre). Correzione degli esercizi assegnati venerdì scorso: Unione e intersezione di sottospazi, correzione degli esercizi. Insiemi linearmente indipendenti: un esempio, definizione. Altri esempi: Definizione di base. Definizione […]

Definizione di un gruppo. Esempi: gli interi rispetto alla somma, i razionali non nulli rispetto alla moltiplicazione, le biezioni di un insieme in sé stesso rispetto alla composizione. Controesempi. Correzione degli esercizi assegnati mercoledì scorso. Esercizio assegnato per venerdì: Definizione di campo. Esempi: numeri razionali, reali, complessi. Cenni ai campi finiti con un numero primo […]

Dal romanzo “Il senso di Smilla per la neve”, di Peter Hoeg: “Se qualcuno mi chiedesse che cosa mi rende davvero felice, io risponderei: i numeri. La neve, il ghiaccio e i numeri. E sai perché?» Spacca le chele con uno schiaccianoci e ne estrae la polpa con una pinzetta curva. «Perché il sistema matematico […]

Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, differenza, prodotto cartesiano. Relazioni d’ordine e relazioni d’equivalenza: definizione e esempi. Correzione degli esercizi: Applicazioni iniettive, suriettive, biunivoche; composizione di applicazioni, applicazione inversa. Esempi. Numeri naturali, interi, razionali, reali, complessi. Rapporti tra note musicali, temperamenti; radice di 2 non è razionale. Ogni equazione polinomiale ha soluzione nei complessi. [manca una […]

“Scusa, sai dov’e’ il mercato?” “Seconda a destra, poi terza a sinistra”. Anche in una conversazione cosi’ banale troviamo traccia di una rappresentazione dello spazio: il viandante che domanda indicazioni si fa origine di un sistema di riferimento, ovvero punto in cui si intersecano due assi dati dalla direzione delle strade; inoltre la lunghezza di […]

“La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre […]