Introduzione

“Scusa, sai dov’e’ il mercato?”
“Seconda a destra, poi terza a sinistra”.
Anche in una conversazione cosi’ banale troviamo traccia di una rappresentazione dello spazio: il viandante che domanda indicazioni si fa origine di un sistema di riferimento, ovvero punto in cui si intersecano due assi dati dalla direzione delle strade; inoltre la lunghezza di un isolato, che si immagina costante, e’ utilizzata per misurare lo spazio.

Questa rappresentazione, ormai a noi cosi’ connaturata, la dobbiamo essenzialmente a Cartesio. Si fonda sull’idea che i punti di una retta siano in corrispondenza biunivoca con un insieme di numeri che chiamiamo reali e, di conseguenza, i punti di un piano lo siano con coppie di numeri reali, che chiamiamo coordinate. Se il piano ci va stretto, perche’ abbiamo voglia di saltare in alto o scavare sottoterra, aggiungiamo una terza coordinata, e cosi’ via… Con un po’ di fantasia, possiamo immaginare uno spazio a n dimensioni, i cui punti sono in corrispondenza con sequenze di n di numeri reali. Uno dei modelli dell’universo piu’ recenti, la teoria delle stringhe, usa uno spazio a 11 dimensioni!

Questa corrispondenza biunivoca crea un ponte tra geometria e l’algebra: ad esempio posso rappresentare una curva nel piano come l’insieme delle coppie di numeri che verificano una certa equazione; intersecare due curve equivarra’ allora a trovare le coppie che verificano entrambe le corrispondenti equazioni – ovvero, come si suol dire, a risolvere un sistema. Si tratta di un modo estremamente potente di rappresentare lo spazio: insieme alla capacita’ di utilizzare gli infinitesimi (che scoprirete nel corso di Analisi) e’ alla base della rivoluzione scientifica del Seicento, quindi delle rivoluzioni industriali che ne sono scaturite: infine, di tutti gli artefatti di cui amiamo circondarci (telefoni, computer, automobili, astronavi…). Inebriati dalle loro scoperte, pensatori del Seicento come Leibniz sognavano un mondo in cui ogni conflitto tra uomini o nazioni possa essere risolto tramite un trasparente calcolo. Purtroppo non e’ proprio cosi!

Il fatto e’ che le coordinate, che ci permettono di pensare e calcolare tanto facilmente, sono ben definite sul piano, ma… la terra non e’ piatta!
Possiamo provare a mettere delle coordinate anche su una sfera, certo: ma e’ una coperta troppo corta, che lascia sempre scoperto qualche punto. Ad esempio se lo facciamo nel modo usuale, con paralleli e meridiani, ci sono due punti che chiamiamo poli per cui la longitudine non e’ definita: in altre parole, ad un polo non corrisponde una sola coppia di numeri. Immaginate di stare al polo Nord: se vi chiedono di camminare verso Nord, non potete farlo; se vi chiedono di andare verso Sud, qualunque direzione va bene!

Forse pensate che sia un problema di poco conto: in fin dei conti, chi ha voglia di andare in posti cosi’ freddi! Ma immaginate due aerei che decollano da Bologna, uno volando 3000 km verso Nord, poi 3000 verso Ovest; l’altro volando prima 3000km verso Ovest, poi 3000 verso Nord. Se li disegnate sulla sfera, vedete facilmente che non arrivano nello stesso punto. Insomma, quando un oggetto non e’ piatto, come nel caso di una sfera, le nostre coordinate non funzionano cosi’ bene, e prima o poi ci tradiranno.

Quindi il mondo degli oggetti piatti, dove il calcolo e’ facile e il pensiero procede senza ostacoli, e’ una sorta di giardino dell’Eden. Esplorare questo giardino sara’ l’argomento principale del nostro corso, la cosiddetta Algebra Lineare. Come tutti gli Eden, questo paesaggio piatto finira’ per annoiarci. Avremo allora voglia di uscirne, gettarci nel mondo fatto di curve e spigoli e bordi taglienti. Il mondo piatto dell’algebra lineare diventera’ quindi un paradiso perduto, a cui cercheremo sempre di tornare.

Ad esempio, se vogliamo riportare l’irriducibile panciosita’ del mondo alla piattezza di un planisfero, abbiamo varie strade. Nella proiezione di Mercatore, la piu’ comune, si conservano gli angoli, ma non le aree. E’ stata fatta nel secolo delle grandi esplorazioni, il Cinquecento, e permetteva ai viaggiatori di calcolare correttamente la rotta che dovevano percorrere le loro navi o carovane; ma il Nordamerica sembra piu’ grande dell’Africa, con tutte le distorsioni anche culturali che questo ha prodotto. La proiezione di Peters, piu’ recente e politicamente corretta, conserva le aree, ma non gli angoli. Insomma, tutto non si puo’ avere!

Questo contrasta con la nostra intuizione: quando utilizziamo una carta, ci pare una rappresentazione fedele e utile dello spazio in cui ci muoviamo. Da sempre i naviganti hanno disegnato delle carte dei luoghi che esploravano. Adesso le realizziamo con foto dai satelliti, ma l’idea di base e’ la stessa: prendere un pezzetto di sfera e proiettarlo su un piano; e’ quello che i matematici chiamano piano tangente a un punto. E’ chiaro che la nostra rappresentazione e’ accurata finche’ stiamo vicino al punto, ma si deforma via via che ce ne allontaniamo. Quindi per rappresentare una superficie come una sfera non bastera’ una sola carta, ma ne serviranno molte: un atlante.

Questa moltitudine di carte, con le difficolta’ del passare dall’una all’altra, rimanda per analogie alla moltitudine delle lingue umane; la quale, secondo il mito biblico, nasce per impedire agli uomini di costruire una torre che salga fino al cielo. L’episodio avviene quando il diluvio universale e’ da poco finito, e il mondo e’ pieno di terre fertili; il tentativo della torre di Babele, per quanto destinato al fallimento, non e’ infruttuoso. Ogni uomo, dall’alto della torre, scorge nel cielo l’Eden in cui non potra’ mai tornare; poi, ispirato da quello, guarda giu’ e vede un mondo meraviglioso da scoprire. Cosi’ disegna la prima carta.

“Gli avvenimenti di Babele sono forse un disastro ma al tempo stesso – ed è questa l’etimologia della parola “disastro” – una pioggia di stelle sull’umanità.” George Steiner